Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ et $3$ .

$\frac{(2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x) \cdot 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

Étape 3.8.4

Déplacez $3$ à gauche de $2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{3 (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (2 x^{2} x) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Associez des termes.

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Étape 4.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 (2 x^{3}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{3} + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 3 (- 2 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.10

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.12

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.13

Soustrayez $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x + 0 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.14

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$\frac{- 6 x - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.15

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.17

Multipliez $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ par $\frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.18

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ par ${(x^{2} - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.18.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2 + 2}}$

Étape 4.7.18.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 4.7.19

Déplacez $12$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Étape 4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Étape 4.8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Étape 4.8.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 4.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{12 x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$