Calcul infinitésimal Exemples

$y = (5 x^{2} + 2) (3 x - 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 x^{2} + 2$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

$(5 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(5 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$(5 x^{2} + 2) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $5 x^{2} + 2$ .

$3 \cdot (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $5$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (10 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (10 x + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (10 x)$

Étape 2.12.2

Déplacez $10$ à gauche de $3 x - 2$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + 10 \cdot (3 x - 2) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 2 + 10 (3 x - 2) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 2 + (10 (3 x) + 10 \cdot - 2) x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 2 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{2} + 3 \cdot 2 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$15 x^{2} + 6 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 x \cdot x + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 (x^{1} x) + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 x^{2} + 6 + 30 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 x^{2} + 10 \cdot - 2 x$

Étape 3.4.8

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 x^{2} - 20 x$

Étape 3.4.9

Additionnez $15 x^{2}$ et $30 x^{2}$ .

$45 x^{2} + 6 - 20 x$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$45 x^{2} - 20 x + 6$