Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x) \cos (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 4.2.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Étape 4.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Étape 4.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $1$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Étape 4.6.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$