Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sin (5 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (5 x)$ .

$\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ à $\csc (5 x)$ .

$\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\csc (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5$

Étape 4.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $5 \csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) \csc (5 x)$

Étape 5.2

Réécrivez $\csc (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Étape 5.3

Multipliez $5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{1}{\sin (5 x)}$ et $5$ .

$\frac{5}{\sin (5 x)} \cos (5 x)$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{5}{\sin (5 x)}$ et $\cos (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 5.4

Séparez les fractions.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 5.5

Convertissez de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ à $\cot (5 x)$ .

$\frac{5}{1} \cot (5 x)$

Étape 5.6

Divisez $5$ par $1$ .

$5 \cot (5 x)$