Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{x}{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{3 (1 + \frac{x^{2}}{3^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3 \cdot 1 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Étape 3.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{9}}$

Étape 3.3.3

Associez $3$ et $\frac{x^{2}}{9}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{9}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 (x^{2})}{9}}$

Étape 3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 + \frac{x^{2}}{3}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.5.2

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 3 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 9}{3}}$

Étape 3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{3}{x^{2} + 9}$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{3}{x^{2} + 9}$ par $1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 9}$