Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 x) e^{4 x} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int (x) e^{4 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x}$ .

$2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Étape 5

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 5.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Étape 8.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Étape 10

Réécrivez $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ comme $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Étape 12.1.3

Associez $e^{4 x}$ et $\frac{1}{16}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 12.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 12.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{4 x}}{16}$ dans le numérateur.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Étape 12.4.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Étape 12.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Étape 12.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$