Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} + 9 x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} + 9 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 9 \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$3 x^{2} + 9$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 9 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 9$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 9$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 9$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 9}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{3}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $- 9$ par $3$ .

$x^{2} = - 3$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 3.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 4

Il est impossible de déterminer une tangente sur un point imaginaire. Le point sur $x =$ n’existe pas sur le système de coordonnées réel.

Il est impossible de déterminer une tangente à partir de la racine

Étape 5

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + 9 x$ .

No horizontal tangent lines

Étape 6