Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Étape 1

Écrivez

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ comme une équation.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Étape 3

Résolvez

y

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ .

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

ln (e^{2 y - 1}) = ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez

ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ en déplaçant

2 y - 1

$2 y - 1$ hors du logarithme.

(2 y - 1) ln (e) = ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de

e

$e$ est

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 3.3.3

Multipliez

2 y - 1

$2 y - 1$ par

1

$1$ .

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Étape 3.4

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ par

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez

$y$ par

$f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer

$2 x - 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Le logarithme naturel de

$e$ est

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez

$2 x - 1$ par

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans

$2 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez

$- 1$ et

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez

$2 x$ et

$0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez

$\frac{\ln (x)}{2}$ comme

$\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant

$\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant

$2$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.5.1

Multipliez les exposants dans

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5.2

Simplifiez

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans

$\ln (x) + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez

$\ln (x)$ et

$0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ,

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$