Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{2 x - 1}$ comme une équation.

$y = e^{2 x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{2 y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{2 y - 1})$ en déplaçant $2 y - 1$ hors du logarithme.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2 y - 1$ par $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

Étape 3.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = \ln (x) + 1$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (x) + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (x) + 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2 x - 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $2 x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (x)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 5.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Étape 5.3.3.5.2

Simplifiez

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $\ln (x) + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\ln (x)$ et $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Étape 5.3.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$