Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + 21$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.5

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.11

Additionnez $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ et $0$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.13

Associez $e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1

Comme $e^{p}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{p}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 3.2

Additionnez $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$