Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les asymptotes f(x)=xe^(-x)
Étape 1
Déterminez où l’expression est indéfinie.
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 2
Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.
Aucune asymptote verticale
Étape 3
Évaluez pour déterminer l’asymptote horizontale.
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Étape 3.1
Réécrivez comme .
Étape 3.2
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
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Étape 3.2.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
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Étape 3.2.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 3.2.1.2
La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.
Étape 3.2.1.3
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 3.2.1.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 3.2.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3.2.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
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Étape 3.2.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.2.3.3
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 3.3
Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction approche de .
Étape 4
Indiquez les asymptotes horizontales :
Étape 5
Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.
Aucune asymptote oblique
Étape 6
C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.
Aucune asymptote verticale
Asymptotes horizontales :
Aucune asymptote oblique
Étape 7