Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} < 4 x$

Étape 1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} - 4 x < 0$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 4 x = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 4 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

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Étape 3.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{3} < 4 (- 4)$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 64$ est inférieur au côté droit $- 16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 1)}^{3} < 4 (- 1)$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas inférieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

${(1)}^{3} < 4 (1)$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $1$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{3} < 4 (4)$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $64$ n’est pas inférieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $0 < x < 2$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

Étape 13