Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} - 2 x y) = \frac{d}{d x} (6 x + y + 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{3} - 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y') - 2 y$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 + y' + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + y' + 0$

Étape 3.5

Additionnez $6 + y'$ et $0$ .

$6 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y = 6 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y - y' = 6$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - 2 y - y' = 6 - 2 y^{3} x$

Étape 5.2.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ par $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ par $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} - \frac{2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $2$ à partir de $6 - 2 y^{3} x + 2 y$ .

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Étape 5.4.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x)$ .

$y' = \frac{2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 5.4.3.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y$ .

$y' = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$