Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + 2 x^{3} y = x + y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 x^{3} y) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + 2 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Étape 2.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Étape 2.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2})$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x^{3} y' + 6 y x^{2}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y = 1 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1 - 2 x y$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 x^{3} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2}) + y' (2 x^{3})$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ par $2 x^{3} + x^{2} - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ par $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 5.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 5.5.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 5.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$