Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (2 y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 2 \sin (2 y) y'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ par $- 2 \sin (2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ par $- 2 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (2 y)$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Étape 5.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 y)}$ à $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Étape 5.3.4

Associez $\csc (2 y)$ et $\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$