Calcul infinitésimal Exemples

cos (2 y) = x

$\cos (2 y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = cos (x)

$f (x) = \cos (x)$ et

g (x) = 2 y

$g (x) = 2 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d u} [cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de

cos (u)

$\cos (u)$ par rapport à

u

$u$ est

- sin (u)

$- \sin (u)$ .

- sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 y

$2 y$ .

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 y

$2 y$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [y]

$2 \frac{d}{d x} [y]$ .

- sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ comme

y'

$y'$ .

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

1

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ par

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ par

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ .

\frac{- 2 sin (2 y) y'}{- 2 sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 sin (2 y)}

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de

- 2

$- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de

$\sin (2 y)$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.2.2.2

Divisez

$y'$ par

$1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Étape 5.3.2

Convertissez de

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ à

$\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Étape 5.3.4

Associez

$\csc (2 y)$ et

$\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Étape 6

Remplacez

$y'$ par

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$