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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Différenciez les deux côtés de l’équation.
Étape 2
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.3
Évaluez .
Étape 2.3.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.3.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 2.4
Évaluez .
Étape 2.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.4.3
Réécrivez comme .
Étape 2.4.4
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.7
Additionnez et .
Étape 2.4.8
Multipliez par .
Étape 2.4.9
Associez et .
Étape 2.4.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.5
Simplifiez
Étape 2.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.5.3
Associez des termes.
Étape 2.5.3.1
Multipliez par .
Étape 2.5.3.2
Multipliez par .
Étape 2.5.3.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.5.3.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3
Étape 3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.3
Multipliez par .
Étape 4
Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.
Étape 5
Étape 5.1
Factorisez chaque terme.
Étape 5.1.1
Réécrivez comme .
Étape 5.1.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.1.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.1.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.1.3.1.1
Multipliez par .
Étape 5.1.3.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 5.1.3.1.3
Multipliez par .
Étape 5.1.3.2
Additionnez et .
Étape 5.1.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.5
Simplifiez
Étape 5.1.5.1
Multipliez par .
Étape 5.1.5.2
Multipliez par .
Étape 5.1.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.1.7
Simplifiez
Étape 5.1.7.1
Multipliez par .
Étape 5.1.7.2
Multipliez par .
Étape 5.1.7.3
Multipliez par .
Étape 5.1.8
Supprimez les parenthèses.
Étape 5.2
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Étape 5.2.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 5.2.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
Étape 5.3
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Étape 5.3.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 5.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.4
Résolvez l’équation.
Étape 5.4.1
Simplifiez .
Étape 5.4.1.1
Réécrivez.
Étape 5.4.1.2
Réécrivez comme .
Étape 5.4.1.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.4.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.1.4
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.4.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.1.4.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.1.4.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 5.4.1.4.1.3
Multipliez par .
Étape 5.4.1.4.2
Additionnez et .
Étape 5.4.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.1.6
Simplifiez
Étape 5.4.1.6.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.1.6.1.1
Déplacez .
Étape 5.4.1.6.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.1.6.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.1.6.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.4.1.6.1.3
Additionnez et .
Étape 5.4.1.6.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.1.6.3
Multipliez par .
Étape 5.4.1.7
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.1.7.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.1.7.1.1
Déplacez .
Étape 5.4.1.7.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.1.7.2
Multipliez par .
Étape 5.4.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
Étape 5.4.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.3
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.4
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.4.2.5
Soustrayez de .
Étape 5.4.2.6
Soustrayez de .
Étape 5.4.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.3.4
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.3.5
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.4
Réécrivez comme .
Étape 5.4.5
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.4.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.5.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.6
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 5.4.6.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.6.1.1
Multipliez par .
Étape 5.4.6.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 5.4.6.1.3
Multipliez par .
Étape 5.4.6.2
Additionnez et .
Étape 5.4.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.8
Simplifiez
Étape 5.4.8.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.8.2
Multipliez par .
Étape 5.4.9
Multipliez par .
Étape 5.4.10
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 5.4.10.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.4.10.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.4.10.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.4.10.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.10.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.4.10.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.4.10.3.1
Simplifiez les termes.
Étape 5.4.10.3.1.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.10.3.1.1.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.4.10.3.1.1.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.4.10.3.1.2
Simplifiez les termes.
Étape 5.4.10.3.1.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.4.10.3.1.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.1.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.1.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.1.2.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.1.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.4.10.3.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.4.10.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.10.3.2.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.10.3.2.4
Déplacez à gauche de .
Étape 5.4.10.3.2.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.10.3.2.5.1
Déplacez .
Étape 5.4.10.3.2.5.2
Multipliez par .
Étape 5.4.10.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.4.10.3.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.4.10.3.4.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.10.3.4.2
Simplifiez
Étape 5.4.10.3.4.2.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.10.3.4.2.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.10.3.4.2.3
Déplacez à gauche de .
Étape 5.4.10.3.4.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.4.10.3.4.3.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.10.3.4.3.1.1
Déplacez .
Étape 5.4.10.3.4.3.1.2
Multipliez par .
Étape 5.4.10.3.4.3.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.10.3.4.3.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.4.10.3.4.3.1.3
Additionnez et .
Étape 5.4.10.3.4.3.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.4.10.3.4.3.2.1
Déplacez .
Étape 5.4.10.3.4.3.2.2
Multipliez par .
Étape 5.4.10.3.4.4
Réécrivez en forme factorisée.
Étape 5.4.10.3.4.4.1
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme où est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.5
Multipliez par .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.6
Additionnez et .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.7
Multipliez par .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.8
Soustrayez de .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.3.9
Soustrayez de .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5
Divisez par .
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
+ | + | + | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+ | + | + | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+ | + | + | - | ||||||||
+ | + |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+ | + | + | - | ||||||||
- | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
Étape 5.4.10.3.4.4.1.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 5.4.10.3.4.4.1.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 5.4.10.3.4.4.2
Factorisez par regroupement.
Étape 5.4.10.3.4.4.2.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Étape 5.4.10.3.4.4.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.4.10.3.4.4.2.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 5.4.10.3.4.4.2.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.10.3.4.4.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 5.4.10.3.4.4.2.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 5.4.10.3.4.4.2.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 5.4.10.3.4.4.2.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 5.4.10.3.4.5
Associez les exposants.
Étape 5.4.10.3.4.5.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.10.3.4.5.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.4.10.3.4.5.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.4.10.3.4.5.4
Additionnez et .
Étape 5.4.10.3.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.4.10.3.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.4.10.3.6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.4.10.3.6.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.4.10.3.6.3
Déplacez à gauche de .
Étape 5.4.10.3.7
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 6
Remplacez par.