Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} = 2 y^{2} + 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y^{2} + 5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 y y' + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $4 y y'$ et $0$ .

$4 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x^{2} = 4 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 y y' = 6 x^{2}$ .

$4 y y' = 6 x^{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 y y' = 6 x^{2}$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' = 6 x^{2}$ par $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{4 y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{4 y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 y)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 y)}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$