Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sqrt{1 + \cot (3 t)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + \cot (3 t)}$ comme ${(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ({(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $x$ par rapport à $t$ est $x'$ .

$x'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 1 + \cot (3 t)$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + \cot (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + \cot (3 t)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.6

Différenciez.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.6.2.2

Placez ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Étape 4.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cot (3 t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

Étape 4.6.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

Étape 4.6.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cot (t)$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 t$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Étape 4.7.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 t$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Étape 4.8

Différenciez.

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Étape 4.8.1

Associez $\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ et $\csc^{2} (3 t)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 4.8.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.8.3

Associez les fractions.

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Étape 4.8.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.8.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.8.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$