Calcul infinitésimal Exemples

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 u' - 3}$ comme ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $u$ par rapport à $u'$ est $u'$ .

$u'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ est $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ où $f (u') = {u'}^{2}$ et $g (u') = {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ est $f' (g (u')) g' (u')$ où $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ et $g (u') = 8 u' - 3$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 u' - 3$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 u' - 3$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 u' - 3$ par rapport à $u'$ est $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.9

Comme $8$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $8 u'$ par rapport à $u'$ est $8 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.11

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.12

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $u'$ est $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $8$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.3

Déplacez $8$ à gauche de ${u'}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.4

Factorisez $2$ à partir de $8 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Étape 4.16

Déplacez $2$ à gauche de ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$

Étape 4.17

Associez $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 4.17.1

Déplacez ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.17.2

Pour écrire $2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18

Multipliez ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.18.1

Déplacez ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{1}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19

Simplifiez $2 u' {(8 u' - 3)}^{1}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20

Simplifiez

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Étape 4.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.20.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.2

Multipliez $u'$ par $u'$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.20.2.1.2.1

Déplacez $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.2.2

Multipliez $u'$ par $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.2

Additionnez $4 {u'}^{2}$ et $16 {u'}^{2}$ .

$\frac{20 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3

Factorisez $2 u'$ à partir de $20 {u'}^{2} - 6 u'$ .

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Étape 4.20.3.1

Factorisez $2 u'$ à partir de $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 u' (10 u') - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3.2

Factorisez $2 u'$ à partir de $- 6 u'$ .

$\frac{2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3.3

Factorisez $2 u'$ à partir de $2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3$ .

$\frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$u' = \frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 7

Remplacez $u'$ par $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$