Calcul infinitésimal Exemples

$x \cos (y) = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ par $- x \sin (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ par $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Étape 5.3.3.2

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 5.3.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ à $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Étape 5.3.3.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$