Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(4 x - 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 1)}^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(4 x - 1)}^{2}$ comme $(4 x - 1) (4 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x - 1) (4 x - 1)]$

Étape 3.2

Développez $(4 x - 1) (4 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 1) - 1 (4 x - 1)]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (4 x - 1)]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (4 x) - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 1 (4 x) - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (4 x) - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 1 (4 x) - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 1 (4 x) - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 4 x - 1 (4 x) - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 4 x - 4 x + 1]$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x + 1]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} - 8 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.8

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.10

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$32 x - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$32 x - 8 + 0$

Étape 3.12

Additionnez $32 x - 8$ et $0$ .

$32 x - 8$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 32 x - 8$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 8$