Calcul infinitésimal Exemples

$1 = 3 x + 2 x^{2} y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (1) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 x^{2} y^{2})$

Étape 2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$3 + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 + 2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 + 2 (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x))$

Étape 3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$3 + 2 (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Étape 3.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 + 2 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x)$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 + 2 (2 x^{2} y y') + 2 (2 y^{2} x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 + 4 (x^{2} y y') + 2 (2 y^{2} x)$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 + 4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = 4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3 = 0$ .

$4 x^{2} y y' + 4 y^{2} x + 3 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $4 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} y y' + 3 = - 4 y^{2} x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} y y' = - 4 y^{2} x - 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} y y' = - 4 y^{2} x - 3$ par $4 x^{2} y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} y y' = - 4 y^{2} x - 3$ par $4 x^{2} y$ .

$\frac{4 x^{2} y y'}{4 x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2} y y'}{4 x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{4 (- y^{2} x)}{4 x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} y$ .

$y' = \frac{4 (- y^{2} x)}{4 (x^{2} y)} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 (- y^{2} x)}{4 (x^{2} y)} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 3}{4 x^{2} y}$

Étape 5.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{3}{4 x^{2} y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{3}{4 x^{2} y}$