Calcul infinitésimal Exemples

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$15$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 y$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Étape 3.4.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Étape 5.2

Factorisez $15 y'$ à partir de $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $15 y'$ à partir de $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Étape 5.2.2

Factorisez $15 y'$ à partir de $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Étape 5.2.3

Factorisez $15 y'$ à partir de $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Étape 5.2.4

Factorisez $15 y'$ à partir de $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Étape 5.2.5

Factorisez $15 y'$ à partir de $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Étape 5.4

Factorisez.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $y^{4} + y^{2} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez le point milieu.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Étape 5.4.1.2

Réorganisez les termes.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Étape 5.4.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Étape 5.4.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y^{2} + 1$ et $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Étape 5.4.1.5

Simplifiez

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Étape 5.4.1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Étape 5.4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Étape 5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ par $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ par $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} + y + 1$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} - y + 1$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 5.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$