Calcul infinitésimal Exemples

${(3 x y + 7)}^{2} = 6 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(3 x y + 7)}^{2}$ comme $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 7) (3 x y + 7)]$

Étape 2.2

Développez $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 7) + 7 (3 x y + 7)]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y + 7)]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 (x y) + 7 \cdot 7]$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 x y + 49]$

Étape 2.3.2

Additionnez $21 x y$ et $21 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49]$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.4.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.9

Différenciez.

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Étape 2.9.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.9.3

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $42 x y$ par rapport à $x$ est $42 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.11

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.13

Multipliez $y$ par $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

Étape 2.14

Comme $49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + 0$

Étape 2.15

Additionnez $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$ et $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Étape 2.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Étape 2.16.3

Associez des termes.

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Étape 2.16.3.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Étape 2.16.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y = 6 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $6 y'$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y - 6 y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $18 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' + 42 y - 6 y' = - 18 y^{2} x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $42 y$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Étape 5.3

Factorisez $6 y'$ à partir de $18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $6 y'$ à partir de $18 x^{2} y y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $6 y'$ à partir de $42 x y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $6 y'$ à partir de $- 6 y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Étape 5.3.4

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x)$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Étape 5.3.5

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ par $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ par $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ .

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3 x^{2} y + 7 x - 1$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $6$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 42$ et $6$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 42 y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} x - 7 y$ .

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Étape 5.4.3.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 7 y$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 7}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 3 y x) + y \cdot - 7$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y x) - 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.2.6.1

Réécrivez $- (3 y x + 7)$ comme $- 1 (3 y x + 7)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 5.4.3.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$