Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{x - 3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.4.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Étape 3.3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.5

Associez $- 4$ et $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.6.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$