Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x + 2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x + 2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x + 2)}^{- 2}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$