Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$