Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 8 x + 3$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.8

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 + 0) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.10

Additionnez $2 x + 8$ et $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Étape 4.12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Étape 4.13

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Étape 4.15

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Étape 4.15.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Étape 4.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Étape 4.17

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Étape 4.18

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + (- x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.3

Déplacez $8$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.4.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.4.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.8

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.9

Associez $x$ et $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.10

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.11

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.11.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.11.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.11.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.11.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.12

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.14

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.2

Pour écrire $2 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.3

Associez $2 x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.5.1.1

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.5.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5.1.1.2

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5.1.1.3

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5.1.1.4

Factorisez $x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5.1.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.4.6

Soustrayez $4 x^{\frac{1}{2}}$ de $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.1

Multipliez $\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 4.19.5.2

Associez.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.19.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.19.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.19.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.19.5.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Étape 4.19.5.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.5.7

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.5.8

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.5.9

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.5.10

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Étape 4.19.5.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.5.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.5.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.1

Pour écrire $8 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.3.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{2}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.3.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{1} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.3.2

Simplifiez $8 x^{1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.4

Pour écrire $3 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.6.1

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.6.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.1.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ et dont la somme est $b = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.6.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} + 8 (x) - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 1$ plus $9$

$\frac{\frac{3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.6.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{(3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.6.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$\frac{\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 4.19.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 4.19.8

Associez.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Étape 4.19.9

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.9.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.9.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.9.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.9.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.10

Multipliez $(3 x - 1) (x + 3)$ par $1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.19.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$