Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 9 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 y$ .

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 y$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{9 y}$ .

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{y}$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{y} \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ .

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

Étape 5.2.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $5 y e^{y} \cos (5 x)$ et $y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y' y e^{y} \sin (5 x)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ par $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ par $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$