Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x^{2}) = x e^{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x e^{y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Étape 2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Étape 2.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$- 2 x \sin (x^{2})$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Étape 3.5

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 x \sin (x^{2}) = x e^{y} y' + e^{y}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$ .

$x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

Étape 5.3

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ par $x e^{y}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ par $x e^{y}$ .

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$