Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{x}{y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Étape 3.6.2

Additionnez $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ dans le numérateur.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' y^{2} = - (y - x y')$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- (- x y')$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y' y^{2} = - y + x y'$

Étape 5.2.1.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $y'$ .

$y' y^{2} = - y + y' x$

Étape 5.2.1.5

Remettez dans l’ordre $- y$ et $y' x$ .

$y' y^{2} = y' x - y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y' x$ des deux côtés de l’équation.

$y' y^{2} - y' x = - y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2} - y' x$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' (y^{2} - x) = - y$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} - x) = - y$ par $y^{2} - x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} - x) = - y$ par $y^{2} - x$ .

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} - x$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$