Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 6.2.5

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$π (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$0$

Étape 9.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $0$ .

$x = 0$

Étape 9.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Étape 9.2.2

Simplifiez

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Étape 9.2.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 9.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Étape 9.3

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.3.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Étape 9.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Étape 9.3.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{6}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 9.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 9.4

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.4.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$π (1)$

Étape 9.4.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.4.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$