Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 x^{2} - 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Remplacez $4 x^{2} - 8 x$ par $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = - 4$

Étape 1.4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = - 4 + 4$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $y^{2} + 4 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Étape 1.6

Remplacez $y^{2} + 4 y$ par ${(y + 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

Étape 1.7

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

Étape 1.8

Simplifiez $- 4 + 4 + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0 + 4$

Étape 1.8.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $4$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2$

$b = 1$

$k = - 2$

$h = 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(1, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 - {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{4 - 1}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 2 + 2)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(1, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 2 - (2))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(1, - 4)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 2 + \sqrt{3})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(1, - 2 - (\sqrt{3}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(1, - 2 - \sqrt{3})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(1)}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 1}}{2}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1}}{2}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - \sqrt{3})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10