Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 5 x$ , $x = 4$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4^{2} + 5 (4)$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(4)}^{2} + 5 (4)$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 + 5 (4)$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$y = 16 + 20$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $16$ et $20$ .

$y = 36$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 36$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 x + 5$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$2 (4) + 5$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 + 5$

Étape 2.4.2

Additionnez $8$ et $5$ .

$13$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $13$ et un point donné, tel que $(4, 36)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (36) = 13 \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $13 \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 36 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 36 = 13 x + 13 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $13$ par $- 4$ .

$y - 36 = 13 x - 52$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 13 x - 52 + 36$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 52$ et $36$ .

$y = 13 x - 16$

Étape 4