Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 60 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$15 u^{2} - 60 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2} - 60 u$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 60 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $15 u$ à partir de $- 60 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u (u) + 15 u (- 4)$ .

$15 u (u - 4) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{5} - 20 x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{5} - 20 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 20 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 20 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 20 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$3 {(2)}^{5} - 20 {(2)}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$3 \cdot 32 - 20 {(2)}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $32$ .

$96 - 20 {(2)}^{3}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$96 - 20 \cdot 8$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$96 - 160$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $160$ de $96$ .

$- 64$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$3 {(- 2)}^{5} - 20 {(- 2)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$3 \cdot - 32 - 20 {(- 2)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$- 96 - 20 {(- 2)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 96 - 20 \cdot - 8$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 8$ .

$- 96 + 160$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 96$ et $160$ .

$64$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, - 64), (- 2, 64)$

Étape 5