Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2}}{x + 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Étape 4.2.2.3

Divisez $4$ par $- 1$ .

$- 4$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

Étape 4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

Étape 5