Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 + 8 x - x^{2}$

Étape 1

Simplifiez $2 + 8 x - x^{2}$ .

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Étape 1.1

Déplacez $2$ .

$y = 8 x - x^{2} + 2$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $8 x$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8 x + 2$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 8 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$- 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x + 8 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 2 x + 8$ et $0$ .

$- 2 x + 8$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 8 = 0$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 8$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 8$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 8$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 2$ .

$x = 4$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ sur $x = 4$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 8 (4) + 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 8 (4) + 2$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (4) = - 16 + 8 (4) + 2$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (4) = - 16 + 32 + 2$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $32$ .

$f (4) = 16 + 2$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $16$ et $2$ .

$f (4) = 18$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ est $y = 18$ .

$y = 18$

Étape 7