Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $6 x^{2} + 6 x - 12$ et $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Étape 3.1.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Étape 3.1.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Étape 3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ sur $x = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $2$ et $3$ .

$f (1) = 5 - 12 + 1$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $12$ de $5$ .

$f (1) = - 7 + 1$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 7$ et $1$ .

$f (1) = - 6$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ sur $x = - 2$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $12$ .

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $24$ .

$f (- 2) = 20 + 1$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $20$ et $1$ .

$f (- 2) = 21$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $21$ .

$21$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ sont $y = - 6, y = 21$ .

$y = - 6, y = 21$

Étape 7