Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x - 0)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - 0)}^{2}}{3^{2}} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 0)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 0)}^{2}}{9} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 5, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(5, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (5), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 5, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + 4, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(4, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (4), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- 4, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(4, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(4, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

Étape 8.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

Étape 8.3.4

Soustrayez $9$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

Étape 8.3.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

Étape 8.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{5}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(4, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Excentricité : $\frac{4}{5}$

Étape 10