Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 10$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 12 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 3$ .

$0, 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Étape 5.2.2

Soustrayez $12$ de $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 16$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Étape 6.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Étape 6.2.1.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Étape 6.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Étape 6.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- 27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Associez $- 27$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{3}{2}$ la dérivée est $- \frac{27}{2}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 3)$ .

Diminue sur $(0, 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Étape 7.2.2

Soustrayez $192$ de $256$ .

$f' (4) = 64$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $64$ .

$64$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $64$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(3, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0), (0, 3)$

Étape 9