Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} - 4 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 27$ et $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 15$ .

$- 15$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $- 15$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2, 0)$ .

Augmente sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (1) = - 3$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Étape 8.2.2

Soustrayez $12$ de $27$ .

$f' (3) = 15$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 8.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $15$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 2, 0), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Étape 10