Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 18 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} + 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 36 x$ .

$3 x^{2} + 36 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 36 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 36 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $36 x$ .

$3 x (x) + 3 x (12) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (12)$ .

$3 x (x + 12) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x + 12) = 0$ vraie.

$x = 0, - 12$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 12$ .

$0, - 12$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 12)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 13$ dans l’expression.

$f' (- 13) = 3 {(- 13)}^{2} + 36 (- 13)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$f' (- 13) = 3 \cdot 169 + 36 (- 13)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $169$ .

$f' (- 13) = 507 + 36 (- 13)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $36$ par $- 13$ .

$f' (- 13) = 507 - 468$

Étape 5.2.2

Soustrayez $468$ de $507$ .

$f' (- 13) = 39$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $39$ .

$39$

Étape 5.3

Sur $x = - 13$ la dérivée est $39$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 12)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 12)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 12, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f' (- 6) = 108 + 36 (- 6)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $36$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = 108 - 216$

Étape 6.2.2

Soustrayez $216$ de $108$ .

$f' (- 6) = - 108$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 108$ .

$- 108$

Étape 6.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $- 108$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 12, 0)$ .

Diminue sur $(- 12, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 36 (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 36 (1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 + 36 (1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f' (1) = 3 + 36$

Étape 7.2.2

Additionnez $3$ et $36$ .

$f' (1) = 39$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $39$ .

$39$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $39$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 12), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- 12, 0)$

Étape 9