Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{7} - 7 x^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{7} - 7 x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$7 x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$7 x^{6} - 7 (5 x^{4})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 35 x^{4}$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $7 x^{6} - 35 x^{4}$ .

$7 x^{6} - 35 x^{4}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 x^{6} - 35 x^{4} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$7 x^{6} - 35 x^{4} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $7 x^{4}$ à partir de $7 x^{6} - 35 x^{4}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $7 x^{4}$ à partir de $7 x^{6}$ .

$7 x^{4} (x^{2}) - 35 x^{4} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $7 x^{4}$ à partir de $- 35 x^{4}$ .

$7 x^{4} (x^{2}) + 7 x^{4} (- 5) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $7 x^{4}$ à partir de $7 x^{4} (x^{2}) + 7 x^{4} (- 5)$ .

$7 x^{4} (x^{2} - 5) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{4}$ égal à $0$ .

$x^{4} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{4} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 5$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 5$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $7 x^{4} (x^{2} - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{7} - 7 x^{5}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{7} - 7 {(0)}^{5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 7 {(0)}^{5}$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 7 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{5}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{5}$ .

${(\sqrt{5})}^{7} - 7 {(\sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{7}$ comme $\sqrt{5^{7}}$ .

$\sqrt{5^{7}} - 7 {(\sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$\sqrt{78125} - 7 {(\sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez $78125$ comme $125^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Factorisez $15625$ à partir de $78125$ .

$\sqrt{15625 (5)} - 7 {(\sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez $15625$ comme $125^{2}$ .

$\sqrt{125^{2} \cdot 5} - 7 {(\sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.2.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$125 \sqrt{5} - 7 {(\sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$125 \sqrt{5} - 7 \sqrt{5^{5}}$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$125 \sqrt{5} - 7 \sqrt{3125}$

Étape 4.2.2.1.7

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$125 \sqrt{5} - 7 \sqrt{625 (5)}$

Étape 4.2.2.1.7.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$125 \sqrt{5} - 7 \sqrt{25^{2} \cdot 5}$

Étape 4.2.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$125 \sqrt{5} - 7 (25 \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.9

Multipliez $25$ par $- 7$ .

$125 \sqrt{5} - 175 \sqrt{5}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $175 \sqrt{5}$ de $125 \sqrt{5}$ .

$- 50 \sqrt{5}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{5}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{5}$ .

${(- \sqrt{5})}^{7} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

${(- 1)}^{7} {\sqrt{5}}^{7} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$- {\sqrt{5}}^{7} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{7}$ comme $\sqrt{5^{7}}$ .

$- \sqrt{5^{7}} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $7$ .

$- \sqrt{78125} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.5

Réécrivez $78125$ comme $125^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Factorisez $15625$ à partir de $78125$ .

$- \sqrt{15625 (5)} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.5.2

Réécrivez $15625$ comme $125^{2}$ .

$- \sqrt{125^{2} \cdot 5} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (125 \sqrt{5}) - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.7

Multipliez $125$ par $- 1$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 {(- \sqrt{5})}^{5}$

Étape 4.3.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 ({(- 1)}^{5} {\sqrt{5}}^{5})$

Étape 4.3.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- {\sqrt{5}}^{5})$

Étape 4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- \sqrt{5^{5}})$

Étape 4.3.2.1.11

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- \sqrt{3125})$

Étape 4.3.2.1.12

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.3.2.1.12.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- \sqrt{625 (5)})$

Étape 4.3.2.1.12.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- \sqrt{25^{2} \cdot 5})$

Étape 4.3.2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- (25 \sqrt{5}))$

Étape 4.3.2.1.14

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$- 125 \sqrt{5} - 7 (- 25 \sqrt{5})$

Étape 4.3.2.1.15

Multipliez $- 25$ par $- 7$ .

$- 125 \sqrt{5} + 175 \sqrt{5}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 125 \sqrt{5}$ et $175 \sqrt{5}$ .

$50 \sqrt{5}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{5}, - 50 \sqrt{5}), (- \sqrt{5}, 50 \sqrt{5})$

Étape 5