Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 8 x - 16$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 16$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 8 x - 16$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $4$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (4 - 12) x - 16 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 4 x - 12 x - 16 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 4 x) - 12 x - 16 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 4) - 4 (3 x + 4) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{3}, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{4}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4}{3}$ .

${(- \frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{27} - 4 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{27} - 4 (1 \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{64}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{27} - 4 (\frac{16}{9}) - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.10

Multipliez $- 4 (\frac{16}{9})$ .

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Étape 4.1.2.1.10.1

Associez $- 4$ et $\frac{16}{9}$ .

$- \frac{64}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.10.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$- \frac{64}{27} + \frac{- 64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{64}{27} - \frac{64}{9} - 16 (- \frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $- 16 (- \frac{4}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + 16 (\frac{4}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.12.2

Associez $16$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{16 \cdot 4}{3} + 5$

Étape 4.1.2.1.12.3

Multipliez $16$ par $4$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64}{9} + \frac{64}{3} + 5$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{64}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{64}{3} + 5$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{64}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} + 5$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Étape 4.1.2.2.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{64 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 64 - 64 \cdot 3 + 64 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 64$ par $3$ .

$\frac{- 64 - 192 + 64 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $64$ par $9$ .

$\frac{- 64 - 192 + 576 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $5$ par $27$ .

$\frac{- 64 - 192 + 576 + 135}{27}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $192$ de $- 64$ .

$\frac{- 256 + 576 + 135}{27}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $- 256$ et $576$ .

$\frac{320 + 135}{27}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $320$ et $135$ .

$\frac{455}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 5$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 4 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 5$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 4 \cdot 16 - 16 \cdot 4 + 5$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$64 - 64 - 16 \cdot 4 + 5$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$64 - 64 - 64 + 5$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $64$ de $64$ .

$0 - 64 + 5$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$- 64 + 5$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $- 64$ et $5$ .

$- 59$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{4}{3}, \frac{455}{27}), (4, - 59)$

Étape 5