Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $4$ plus $- 6$

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- x^{3} + x^{2} + 8 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{4}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4}{3}$ .

$- {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 4.1.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $\frac{4^{3}}{3^{3}}$ par $1$ .

$\frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{27} + 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.9

Multipliez $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $8 (- \frac{4}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) + 1$

Étape 4.1.2.1.12.2

Associez $- 8$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 1$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 1$

Étape 4.1.2.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 32$ par $9$ .

$\frac{64 + 48 - 288 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.5.1

Additionnez $64$ et $48$ .

$\frac{112 - 288 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $288$ de $112$ .

$\frac{- 176 + 27}{27}$

Étape 4.1.2.5.3

Additionnez $- 176$ et $27$ .

$\frac{- 149}{27}$

Étape 4.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{149}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$- {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 4 + 8 (2) + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $8$ par $2$ .

$- 8 + 4 + 16 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 4 + 16 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$12 + 1$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $12$ et $1$ .

$13$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{4}{3}, - \frac{149}{27}), (2, 13)$

Étape 5