Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} + 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} + 24 x$ .

$36 x^{2} + 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} + 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $36 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (3 x) + 12 x (2)$ .

$12 x (3 x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (3 x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{2}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Étape 3.3.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Étape 3.3.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Étape 3.3.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Étape 3.3.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

Étape 3.3.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

Étape 3.3.2.1.11

Multipliez $4 (- \frac{8}{27})$ .

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Étape 3.3.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Étape 3.3.2.1.11.2

Associez $- 4$ et $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Étape 3.3.2.1.11.3

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Étape 3.3.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Étape 3.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{2}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ est $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{2}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.7\overline{6}$ dans l’expression.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.7\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $18.4$ de $21.16$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2.76$ .

$2.76$

Étape 5.3

Sur $- 0.7\overline{6}$ , la dérivée seconde est $2.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{2}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{2}{3}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $- 0.\overline{3}$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{2}{3}, 0)$

Diminue sur $(- \frac{2}{3}, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $24$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.36$ et $2.4$ .

$f'' (0.1) = 2.76$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2.76$ .

$2.76$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $2.76$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

Étape 9