Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les points d'inflexion f(x)=x/(4x^2-1)
Étape 1
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.1.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.1.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.6
Multipliez par .
Étape 1.1.2.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.8
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.8.1
Additionnez et .
Étape 1.1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.1.6
Additionnez et .
Étape 1.1.7
Soustrayez de .
Étape 1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.2.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.2.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.2.5
Multipliez par .
Étape 1.2.2.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2.7
Additionnez et .
Étape 1.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.4
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Multipliez par .
Étape 1.2.4.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.4.5
Multipliez par .
Étape 1.2.4.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4.7
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.7.1
Additionnez et .
Étape 1.2.4.7.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.2.4.7.3
Multipliez par .
Étape 1.2.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.5.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.3.1.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.4
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.4.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.5.3.1.4.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.4.1.2.1
Déplacez .
Étape 1.2.5.3.1.4.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.5.3.1.4.1.2.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.4.1.3
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.4.1.4
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.4.1.5
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.4.1.6
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.4.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.5.3.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.6.1
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.6.2
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.6.3
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.8
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.8.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.8.1.1
Déplacez .
Étape 1.2.5.3.1.8.1.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.8.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.5.3.1.8.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.5.3.1.8.1.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.8.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.8.2.1
Déplacez .
Étape 1.2.5.3.1.8.2.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.5.3.1.8.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.5.3.1.8.2.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.9
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.9.1
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.9.2
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.10
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.10.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.10.1.1
Déplacez .
Étape 1.2.5.3.1.10.1.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.10.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.5.3.1.10.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.5.3.1.10.1.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.10.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.3.1.11
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.3.1.12
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.12.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.12.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.5.3.1.12.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.12.1.2.1
Déplacez .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.5.3.1.12.1.2.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.3
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.2.5.3.1.12.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.12.1.5.1
Déplacez .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.5.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.5.3.1.12.1.5.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.6
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.7
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.12.1.8
Multipliez par .
Étape 1.2.5.3.1.12.2
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.1.12.3
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.2
Additionnez et .
Étape 1.2.5.3.3
Soustrayez de .
Étape 1.2.5.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.4.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.4.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.4.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.4.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.5.4.4
Factorisez par regroupement.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.4.4.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.4.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.4.4.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 1.2.5.4.4.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.5.4.4.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.4.4.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 1.2.5.4.4.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.2.5.4.4.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 1.2.5.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.5.4.6
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.4.7
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.4.8
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 1.2.5.5
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.5.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.5.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.5.5.3
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 1.2.5.5.4
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.2.5.6
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.6.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.5.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.5.7
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.7.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.7.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.5.7.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.5.7.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.3.2
Définissez égal à .
Étape 2.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 2.3.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.3.3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.3.3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.3.3.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.3.3.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.3.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 2.3.3.2.4
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.4.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.4.1.1
Réécrivez comme .
Étape 2.3.3.2.4.1.2
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 2.3.3.2.4.1.3
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 2.3.3.2.4.1.4
Réorganisez la fraction .
Étape 2.3.3.2.4.1.5
Réécrivez comme .
Étape 2.3.3.2.4.2
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 2.3.3.2.4.3
Associez et .
Étape 2.3.3.2.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.3.2.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 2.3.3.2.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 2.3.3.2.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 2.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Remplacez dans pour déterminer la valeur de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.1.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 3.1.2.1.3
Soustrayez de .
Étape 3.1.2.2
Divisez par .
Étape 3.1.2.3
La réponse finale est .
Étape 3.2
Le point trouvé en remplaçant dans est . Ce point peut être un point d’inflexion.
Étape 4
Divisez en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.
Étape 5
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.1
Multipliez par .
Étape 5.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2.4
Soustrayez de .
Étape 5.2.2.5
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.2.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.2.3.2
Divisez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 6
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.1
Multipliez par .
Étape 6.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Multipliez par .
Étape 6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.2.3
Multipliez par .
Étape 6.2.2.4
Soustrayez de .
Étape 6.2.2.5
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.2.6
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.3.1
Multipliez par .
Étape 6.2.3.2
Divisez par .
Étape 6.2.4
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur , la dérivée seconde est . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 7
Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est .
Étape 8