Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 2 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $x^{4} - 2 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 4$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 4$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 4$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $81$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9})$

Étape 4.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 4.1.2.1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9}$

Étape 4.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.1.9

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3}$

Étape 4.1.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3}{9}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{9}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{9}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{9}$

Étape 4.1.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{9}$ .

$- \frac{5}{9}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ est $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

Étape 4.3

Remplacez $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $81$ .

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Étape 4.3.2.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.6.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

Étape 4.3.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Étape 4.3.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}}$

Étape 4.3.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9})$

Étape 4.3.2.1.12

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 4.3.2.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9}$

Étape 4.3.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3})$

Étape 4.3.2.1.13

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3}$

Étape 4.3.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3}$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3}{9}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{9}$

Étape 4.3.2.5.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{9}$

Étape 4.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{9}$

Étape 4.3.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{9}$ .

$- \frac{5}{9}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ est $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.67735026$ dans l’expression.

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.67735026$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.50564064$ .

$1.50564064$

Étape 6.3

Sur $- 0.67735026$ , la dérivée seconde est $1.50564064$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.67735026$ dans l’expression.

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.67735026$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Étape 8.2.2

Soustrayez $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $1.50564064$ .

$1.50564064$

Étape 8.3

Sur $0.67735026$ , la dérivée seconde est $1.50564064$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{9})$

Étape 10