Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 7}$ comme ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 1.1.3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Étape 1.1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 7)}^{2}$ par $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Étape 1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 7$ à partir de ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 7$ à partir de ${(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 7$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 7$ à partir de $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Étape 1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 7$ à partir de ${(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.16

Associez $- 2$ et $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18

Simplifiez

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Étape 1.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2} + 14$ .

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Étape 1.2.18.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.3.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ .

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.5

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 7)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.2.18.10

Multipliez $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 7$ par $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 7$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Étape 2.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{7}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.5.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.3.5.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Étape 2.3.5.4.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\sqrt{21}}{3}$ dans $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{21}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $21$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Étape 3.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Étape 3.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Étape 3.1.2.1.5

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.1.2.1.6

Associez $7$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.2.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.1.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.8.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Étape 3.1.2.1.8.2

Additionnez $7$ et $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $\frac{3}{28}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{21}}{3}$ dans $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ est $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ dans $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Étape 3.3.2.1.6

Annulez le facteur commun à $21$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Étape 3.3.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Étape 3.3.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Étape 3.3.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Étape 3.3.2.1.7

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.3.2.1.8

Associez $7$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.3.2.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.3.2.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.10.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Étape 3.3.2.1.10.2

Additionnez $7$ et $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $\frac{3}{28}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Étape 3.3.2.4

La réponse finale est $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ dans $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ est $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.62752523$ dans l’expression.

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.62752523$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1.62752523$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $2.64883837$ et $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $9.64883837$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $1.89303027$ par $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $0.00210732$ .

$0.00210732$

Étape 5.3

Sur $- 1.62752523$ , la dérivée seconde est $0.00210732$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $343$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $- 14$ .

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $343$ .

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 0.04081632$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.62752523$ dans l’expression.

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.62752523$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $7$ de $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $1.62752523$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $2.64883837$ et $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $9.64883837$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $1.89303027$ par $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $0.00210732$ .

$0.00210732$

Étape 7.3

Sur $1.62752523$ , la dérivée seconde est $0.00210732$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Étape 9