Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - \sin (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x - \sin (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x - \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 2.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$0 + \sin (x)$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.5

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.8

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Le point trouvé en remplaçant dans $f (x) = x - \sin (x)$ est $(,)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(,)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty,)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.09983341$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty,)$

Diminue sur $(- \infty,)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Étape 7.2

La réponse finale est $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $0.09983341$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(, \infty)$ .

Augmente sur $(, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(,)$ .

$(,)$

Étape 9