Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.1.1.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 1.1.1.9

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.2

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.10.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1.1.10.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.1.10.2.4

Associez $4$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.10.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.10.2.6

Associez $x^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.10.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.10.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.1.10.2.9

Additionnez $3 x^{\frac{1}{3}}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.9

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.2.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.1.2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 1.1.2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.2.3.5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 1.1.2.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 1.1.2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 1.1.2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Étape 1.1.2.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 1.1.2.3.12

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 1.1.2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.3.13.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Étape 1.1.2.3.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 1.1.2.3.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Étape 1.1.2.3.13.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Étape 1.1.2.3.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Étape 1.1.2.3.14

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Étape 1.1.2.3.15

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 1.1.2.3.16

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 1.1.2.3.17

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Étape 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Étape 1.2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.2.4

$9$ a des facteurs de $3$ et $3$ .

$3 \cdot 3$

Étape 1.2.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.2.6

Le plus petit multiple commun de $9, 9, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3 \cdot 3$

Étape 1.2.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$9$

Étape 1.2.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{5}{3}}$

Étape 1.2.2.9

Le plus petit multiple commun pour $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ est la partie numérique $9$ multipliée par la partie variable.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ par $9 x^{\frac{5}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ par $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.3.1

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.4

Divisez $3$ par $3$ .

$4 x^{1} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.5

Simplifiez

$4 x - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ dans le numérateur.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$4 x - 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$4 x - 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x - 8 = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 8$

Étape 1.2.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 8$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 8$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Étape 1.2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{4}$

Étape 1.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Divisez $8$ par $4$ .

$x = 2$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ .

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Étape 2.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{1}} (x + 4)$

Étape 2.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt[3]{x} (x + 4)$

Étape 2.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f'' (0) = Undefined$

Étape 4.6

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 2)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{4}{9 {(4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Placez ${(4)}^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $4^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $4$ par $4^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f'' (4) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (4) = \frac{4^{1 - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{3 - 2}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2.1.2.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 {(4)}^{\frac{5}{3}}}$

$f'' (4) = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{8}{9 \cdot 4^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7